Найти точку, симметричную точке \( P(1, -1) \) относительно прямой \( 3x - 5y + 9 = 0 \).

Для нахождения симметричной точки относительно прямой нужно выполнить несколько шагов.

1. Найдем уравнение прямой: Прямая задана уравнением $3x - 5y + 9 = 0$. Это уравнение можно записать в виде $3x - 5y = -9$.

2. Запишем уравнение перпендикуляра: Перпендикуляр к данной прямой из точки $P(1, -1)$ будет иметь наклон, обратный и противоположный наклону исходной прямой. Найдем наклон прямой $3x - 5y + 9 = 0$.
   Для этого преобразуем уравнение в вид $y = mx + b$. Перепишем исходное уравнение:

   $$3x - 5y = -9 \quad \Rightarrow \quad 5y = 3x + 9 \quad \Rightarrow \quad y = \frac{3}{5}x + \frac{9}{5}$$

   Наклон прямой $m = \frac{3}{5}$, а наклон перпендикуляра к ней будет $m_{\perp} = -\frac{5}{3}$.

3. Запишем уравнение перпендикуляра через точку $P(1, -1)$: Теперь у нас есть наклон перпендикуляра, и мы можем записать его уравнение в виде $y - y_1 = m_{\perp}(x - x_1)$, где $P(1, -1)$ — это точка, через которую проходит перпендикуляр, и $m_{\perp} = -\frac{5}{3}$.

   Подставляем в уравнение:

   $$y + 1 = -\frac{5}{3}(x - 1)$$

   Упростим это:

   $$y + 1 = -\frac{5}{3}x + \frac{5}{3}$$ $$y = -\frac{5}{3}x + \frac{5}{3} - 1$$ $$y = -\frac{5}{3}x + \frac{2}{3}$$

   Это уравнение перпендикуляра.

4. Найдем точку пересечения перпендикуляра с прямой: Решим систему уравнений:

   • Прямая: $3x - 5y + 9 = 0$

   • Перпендикуляр: $y = -\frac{5}{3}x + \frac{2}{3}$

   Подставим выражение для $y$ из второго уравнения в первое:

   $$3x - 5\left(-\frac{5}{3}x + \frac{2}{3}\right) + 9 = 0$$

   Упростим:

   $$3x + \frac{25}{3}x - \frac{10}{3} + 9 = 0$$

   Преобразуем все к общему знаменателю:

   $$\frac{9}{3}x + \frac{25}{3}x - \frac{10}{3} + \frac{27}{3} = 0$$ $$\frac{34}{3}x + \frac{17}{3} = 0$$

   Умножим обе стороны на 3:

   $$34x + 17 = 0$$ $$34x = -17$$ $$x = -\frac{1}{2}$$

5. Найдем $y$-координату точки пересечения: Подставим $x = -\frac{1}{2}$ в уравнение перпендикуляра:

   $$y = -\frac{5}{3}\left(-\frac{1}{2}\right) + \frac{2}{3}$$