1. Найдите точку симметричную точке (1; 2; 3) относительно плоскости Оху. 2. Найдите длину вектора c=2a-b, если а(6; 2; 1) и b(0; -1; 2). Даны точки А(2; -1; 0) и B(-2; 3; 2). Найдите расстояние от начала координат до середины отрезка АВ. 3. 4. Даны точки A(1; -2; 2), В(1; 4; 0), C(-4; 1; 1) и D(-5; -5; 3). Найдите угол между векторами АС и BD. 5. (Дополнительная задача для хорошо успевающих учащихся). Найдите длину медианы BD треугольника с вершинами в точках A(4; 5; 1), B(2; 3; 0) и С(2; 1; -1).​

Найдите точку, симметричную точке (1; 2; 3) относительно плоскости Oxy.

Чтобы найти точку, симметричную точке (1; 2; 3) относительно плоскости $Oxy$, нужно отразить эту точку относительно этой плоскости. В системе координат $Oxy$ отражение означает, что знак координаты $z$ меняется на противоположный, а координаты $x$ и $y$ остаются такими же.

• Исходная точка: $(1; 2; 3)$.
• Симметричная точка: $(1; 2; -3)$.

Ответ: Точка, симметричная точке $(1; 2; 3)$ относительно плоскости $Oxy$, — это $(1; 2; -3)$.

Найдите длину вектора $\mathbf{c} = 2\mathbf{a} - \mathbf{b}$, если $\mathbf{a} = (6; 2; 1)$ и $\mathbf{b} = (0; -1; 2)$.

Сначала найдем координаты вектора $\mathbf{c} = 2\mathbf{a} - \mathbf{b}$:

• Умножим вектор $\mathbf{a}$ на 2: $2\mathbf{a} = (2 \cdot 6; 2 \cdot 2; 2 \cdot 1) = (12; 4; 2)$.
• Теперь вычтем $\mathbf{b}$: $\mathbf{c} = (12; 4; 2) - (0; -1; 2) = (12 - 0; 4 - (-1); 2 - 2) = (12; 5; 0)$.

Теперь найдем длину вектора $\mathbf{c}$:

Ответ: Длина вектора $\mathbf{c}$ равна 13.

Даны точки $A(2; -1; 0)$ и $B(-2; 3; 2)$. Найдите расстояние от начала координат до середины отрезка $AB$.

Сначала найдем координаты середины отрезка $AB$:

Теперь найдем расстояние от начала координат $O(0; 0; 0)$ до точки $M(0; 1; 1)$:

Ответ: Расстояние от начала координат до середины отрезка $AB$ равно $\sqrt{2}$.

Даны точки $A(1; -2; 2)$, $B(1; 4; 0)$, $C(-4; 1; 1)$ и $D(-5; -5; 3)$. Найдите угол между векторами $AC$ и $BD$.

Сначала найдем координаты векторов $\mathbf{AC}$ и $\mathbf{BD}$:

• $\mathbf{AC} = (-4 - 1; 1 - (-2); 1 - 2) = (-5; 3; -1)$.
• $\mathbf{BD} = (-5 - 1; -5 - 4; 3 - 0) = (-6; -9; 3)$.

Теперь найдём скалярное произведение $\mathbf{AC} \cdot \mathbf{BD}$ и длины векторов $\mathbf{AC}$ и $\mathbf{BD}$: