В треугольнике АВС угол С равен 90 градусов, высота СН равна 4, ВС = 8. Найдите cosА.

В треугольнике ABC угол С равен 90 градусов, что означает, что треугольник прямоугольный. Высота СН, опущенная из вершины C на гипотенузу AB, равна 4, а длина катета ВС равна 8. Нужно найти значение cosA.

1. Обозначим катеты треугольника как:

   • ВС = 8 (катет),

   • AB — гипотенуза,

   • AC — второй катет,

   • СН — высота, опущенная на гипотенузу.

2. В прямоугольном треугольнике ABC с высотой, опущенной на гипотенузу, выполняется важное соотношение:

   $$СН^2 = (СА)(СВ)$$

   Подставляем известные значения:

   $$4^2 = (СА)(8)$$ $$16 = (СА)(8)$$ $$СА = 2$$

3. Теперь, зная длину катетов AC = 2 и BC = 8, можем найти гипотенузу AB с помощью теоремы Пифагора:

   $$AB^2 = AC^2 + BC^2$$ $$AB^2 = 2^2 + 8^2$$ $$AB^2 = 4 + 64 = 68$$ $$AB = \sqrt{68} = 2\sqrt{17}$$

4. Теперь можно найти cosA, используя определение косинуса в прямоугольном треугольнике:

   $$\cos A = \frac{СА}{AB}$$

   Подставляем найденные значения:

   $$\cos A = \frac{2}{2\sqrt{17}} = \frac{1}{\sqrt{17}}$$

Ответ: $\cos A = \frac{1}{\sqrt{17}}$.