В треугольнике АВС сторона АВ равна 27 см, и она больше стороны ВС в 3 раза. Найдите длину стороны АС, если периметр треугольника АВС равен 61см.

Для решения задачи начнем с того, что обозначим длину стороны $ВС$ как $x$. Из условия задачи известно, что сторона $AB$ в 3 раза больше стороны $BC$, то есть:

Также нам дано, что периметр треугольника $ABC$ равен 61 см. Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон. Следовательно, можно записать уравнение для периметра:

Подставим в это уравнение выражения для сторон $AB$ и $BC$:

Теперь упростим это уравнение:

Таким образом, чтобы найти сторону $AC$, нужно выразить её через $x$:

На этом этапе нам необходимо найти значение $x$, которое соответствует длинам сторон треугольника.

Чтобы решить эту задачу, нужно воспользоваться неравенством треугольника, которое гласит, что сумма длин любых двух сторон треугольника должна быть больше длины третьей стороны. В нашем случае мы имеем три неравенства:

1. $AB + BC > AC$, то есть $3x + x > AC$ или $4x > AC$.
2. $AB + AC > BC$, то есть $3x + AC > x$.
3. $BC + AC > AB$, то есть $x + AC > 3x$.

Подставим выражение для $AC$ в каждое из этих неравенств:

1. $4x > 61 - 4x$, что даёт $8x > 61$, или $x > 7.625$.
2. $3x + 61 - 4x > x$, что даёт $61 - x > x$, или $61 > 2x$, что приводит к $x < 30.5$.
3. $x + 61 - 4x > 3x$, что даёт $61 - 3x > 3x$, или $61 > 6x$, что приводит к $x < 10.17$.

Таким образом, $x$ должно удовлетворять следующим условиям:

Теперь давайте подставим несколько значений $x$ в уравнение для $AC$ и проверим их. Возьмем, например, $x = 8$. Подставим это значение в уравнение:

Теперь проверим, удовлетворяют ли полученные значения условиям неравенства треугольника. Стороны треугольника будут:

• $AB = 3 \cdot 8 = 24$,
• $BC = 8$,
• $AC = 29$.

Проверим неравенства:

1. $AB + BC = 24 + 8 = 32 > 29$,
2. $AB + AC = 24 + 29 = 53 > 8$,
3. $BC + AC = 8 + 29 = 37 > 24$.

Все неравенства выполнены, значит, решение правильное.

Ответ: длина стороны $AC$ равна 29 см.