Возраст старика Хоттабыча записывается четырехзначным числом, в котором все цифры различны. Об этом числе известно следующее: а) если первую и последнюю цифру зачеркнуть, то получится двузначное число, которое при сумме цифр, равной 13, является наибольшим. б) первая цифра больше последней в 4 раза. Сколько лет старику Хоттабычу?

Для того чтобы найти возраст старика Хоттабыча, разберем все данные, приведенные в задаче, по порядку.

Обозначим возраст старика Хоттабыча четырехзначным числом $ABCD$, где $A$, $B$, $C$, $D$ — цифры числа, причем все цифры различны.

Из условия задачи:

1. Если зачеркнуть первую и последнюю цифры, то получится двузначное число, сумма цифр которого равна 13.
   Это означает, что число $BC$ — двузначное, и сумма его цифр равна 13. То есть:

   $$B + C = 13$$

   При этом, чтобы число $BC$ было наибольшим среди таких двузначных чисел с суммой цифр 13, $B$ должно быть максимально возможным, а $C$ минимальным. Подберем такие цифры $B$ и $C$:

   • Если $B = 9$, то $C = 4$ (так как $9 + 4 = 13$).
     Следовательно, число $BC = 94$.

2. Первая цифра больше последней в 4 раза.
   Это условие означает, что $A = 4D$.

Подставим найденные значения:

Мы уже знаем, что $BC = 94$, значит, $B = 9$ и $C = 4$. Теперь, чтобы удовлетворить условию $A = 4D$, давайте подберем такие цифры $A$ и $D$, которые соответствуют этому уравнению. Поскольку $A$ и $D$ — цифры, их значения могут быть только от 0 до 9, и $A$ должно быть в 4 раза больше $D$. Рассмотрим возможные значения:

• Если $D = 1$, то $A = 4 \times 1 = 4$.

Теперь у нас есть все цифры:

• $A = 4$,

• $B = 9$,

• $C = 4$,

• $D = 1$.

Однако цифры $C$ и $D$ не могут быть одинаковыми (так как все цифры числа различны). Следовательно, это значение не подходит.

Попробуем другое значение для $D$:

• Если $D = 2$, то $A = 4 \times 2 = 8$.

Теперь получаем число $A = 8$, $B = 9$, $C = 4$, $D = 2$.

Проверим все условия:

• $B + C = 9 + 4 = 13$, что соответствует условию.

• $A = 4D$, то есть $8 = 4 \times 2$, что также верно.

Таким образом, возраст старика Хоттабыча — 8942.