Катя выложила на столе из цифр пятизначное число N, а затем ещё четыре числа: сумму первых двух цифр числа N, сумму первых трёх, первых четырёх, наконец, сумму всех пяти цифр числа N. В итоге на столе оказались: одна цифра 1, шесть цифр 2, одна цифра 4, три цифры 6, две цифры 8. Чему равно число N? Объясните свой ответ.

Задача состоит в том, чтобы найти пятизначное число $N$, которое при разбиении на цифры приводит к определённому набору чисел на столе. Разберем её пошагово.

1. Понимание данных: На столе находятся следующие числа:

   • Одно число 1,
   • Шесть чисел 2,
   • Одно число 4,
   • Три числа 6,
   • Два числа 8.

   Важно понимать, что эти числа — это суммы цифр числа $N$ для разных его частей:

   • Сумма первых двух цифр числа $N$,
   • Сумма первых трёх цифр,
   • Сумма первых четырёх цифр,
   • Сумма всех пяти цифр числа $N$.

2. Определение структуры числа $N$: Пусть $N$ — это пятизначное число, представим его в виде $N = a_1a_2a_3a_4a_5$, где $a_1, a_2, a_3, a_4, a_5$ — цифры числа.

   Далее, суммы цифр на столе будут такими:

   • Сумма первых двух цифр $a_1 + a_2$,
   • Сумма первых трёх цифр $a_1 + a_2 + a_3$,
   • Сумма первых четырёх цифр $a_1 + a_2 + a_3 + a_4$,
   • Сумма всех пяти цифр $a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5$.

3. Анализ набора чисел на столе: Числа на столе должны быть такими, чтобы их суммы можно было распределить по суммам первых двух, трёх, четырёх и пяти цифр. Начнем с самого большого числа — суммы всех цифр $S = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5$, которое по условию задачи равно 8, так как на столе есть две цифры 8.

   Значит, сумма всех цифр числа $N$ равна 8:

   $$a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 = 8.$$

4. Распределение других сумм: Дальше, сумма первых четырёх цифр $a_1 + a_2 + a_3 + a_4$ должна быть равна 6, так как на столе три цифры 6:

   $$a_1 + a_2 + a_3 + a_4 = 6.$$

   Таким образом, $a_5$, пятая цифра, равна:

   $$a_5 = 8 - 6 = 2.$$

   Теперь, сумма первых трёх цифр $a_1 + a_2 + a_3$ должна быть равна 4, так как на столе одна цифра 4:

   $$a_1 + a_2 + a_3 = 4.$$

   Наконец, сумма первых двух цифр $a_1 + a_2$ должна быть равна 2, так как на столе шесть цифр 2:

   $$a_1 + a_2 = 2.$$

5. Решение системы уравнений: Теперь у нас есть система уравнений:

   $$a_1 + a_2 = 2,$$ $$a_1 + a_2 + a_3 = 4,$$ $$a_1 + a_2 + a_3 + a_4 = 6,$$ $$a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 = 8.$$