Решить неравенство 4х в квадрате-4х-15 меньше 0

Для решения неравенства $4x^2 - 4x - 15 < 0$, начнем с того, что это квадратное неравенство.

1. Запишем неравенство:

   $$4x^2 - 4x - 15 < 0$$

2. Решим соответствующее квадратное уравнение:

   Для нахождения корней, сначала решим уравнение $4x^2 - 4x - 15 = 0$.

   Применим формулу дискриминанта для квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$, где $a = 4$, $b = -4$, и $c = -15$:

   $$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-15) = 16 + 240 = 256$$

   Дискриминант $D = 256$, значит, уравнение имеет два различных корня.

   Найдем эти корни с помощью формулы:

   $$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$

   Подставим значения:

   $$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{256}}{2 \cdot 4} = \frac{4 \pm 16}{8}$$

   Таким образом, получаем два корня:

   $$x_1 = \frac{4 + 16}{8} = \frac{20}{8} = 2.5$$ $$x_2 = \frac{4 - 16}{8} = \frac{-12}{8} = -1.5$$

3. Найдем знаки функции на интервалах:

   Мы имеем два корня $x_1 = 2.5$ и $x_2 = -1.5$, которые разделяют ось x на три интервала:

   • $(-\infty, -1.5)$

   • $(-1.5, 2.5)$

   • $(2.5, +\infty)$

   Теперь нужно проверить знак выражения $4x^2 - 4x - 15$ на этих интервалах.

   • Для интервала $(-\infty, -1.5)$ возьмем, например, $x = -2$:

     $$4(-2)^2 - 4(-2) - 15 = 16 + 8 - 15 = 9 \quad (\text{положительное значение})$$

   • Для интервала $(-1.5, 2.5)$ возьмем, например, $x = 0$:

     $$4(0)^2 - 4(0) - 15 = -15 \quad (\text{отрицательное значение})$$

   • Для интервала $(2.5, +\infty)$ возьмем, например, $x = 3$:

     $$4(3)^2 - 4(3) - 15 = 36 - 12 - 15 = 9 \quad (\text{положительное значение})$$

4. Ответ:

   Выражение $4x^2 - 4x - 15$ отрицательно на интервале $(-1.5, 2.5)$.

   Следовательно, неравенство $4x^2 - 4x - 15 < 0$ выполняется при $-1.5 < x < 2.5$.

   Таким образом, решение неравенства:

   $$-1.5 < x < 2.5$$