Решить уравнение sinx + cosx = √2.

Чтобы решить уравнение $\sin x + \cos x = \sqrt{2}$, сначала нужно заметить, что правая часть уравнения больше, чем максимальное значение функции $\sin x + \cos x$, которое равно $\sqrt{2}$ только в определенных случаях.

Шаг 1: Выразим $\sin x + \cos x$ через одну функцию

Попробуем преобразовать выражение $\sin x + \cos x$. Для этого используем следующую тригонометрическую формулу:

Чтобы это понять, представьте, что $\sin x + \cos x$ можно выразить как сумму синуса с фазовым сдвигом, при этом максимальное значение будет равно $\sqrt{2}$. Подставим это преобразование в исходное уравнение:

Шаг 2: Упростим уравнение

Теперь разделим обе стороны уравнения на $\sqrt{2}$:

Шаг 3: Найдем решение

Знаем, что $\sin \theta = 1$ при $\theta = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$, где $k$ — целое число. Таким образом, мы получаем:

Шаг 4: Изолируем $x$

Теперь вычитаем $\frac{\pi}{4}$ из обеих сторон:

Ответ:

Таким образом, общее решение уравнения: