В квадрат со стороной 4 см вписана окружность. В окружность вписан второй квадрат, и т.д. Найдите сумму площадей всех квадратов

Давайте рассмотрим задачу подробно и поэтапно разберем её решение.

Условие:

1. У нас есть квадрат со стороной 4 см.
2. В этот квадрат вписана окружность.
3. В эту окружность вписан второй квадрат.
4. Далее, в этот квадрат снова вписана окружность, и в эту окружность — новый квадрат, и так продолжается бесконечно.

Задача:

Нужно найти сумму площадей всех квадратов, которые таким образом образуются.

Шаг 1: Анализ первого квадрата и вписанной окружности.

• Площадь первого квадрата $S_1$:

  $$S_1 = a^2 = 4^2 = 16 \, \text{см}^2,$$

  где $a = 4$ см — сторона первого квадрата.

• Радиус вписанной в квадрат окружности равен половине стороны квадрата:

  $$R_1 = \frac{a}{2} = \frac{4}{2} = 2 \, \text{см}.$$

Шаг 2: Площадь второго квадрата.

В окружность радиусом $R_1 = 2$ см вписываем второй квадрат. Вписанный в окружность квадрат имеет диагональ, равную диаметру окружности:

Пусть сторона второго квадрата равна $a_2$. По формуле связи между диагональю и стороной квадрата:

Площадь второго квадрата:

Шаг 3: Анализ дальнейшего процесса.

Теперь рассмотрим, как меняются стороны квадратов и их площади при каждом следующем шаге:

• На каждом шаге новый квадрат вписывается в окружность, диаметр которой равен диагонали предыдущего квадрата.
• Так как диагональ квадрата равна $a \sqrt{2}$, то, вписав квадрат в окружность, получаем, что его сторона уменьшилась в $\sqrt{2}$ раз по сравнению с предыдущим квадратом.

То есть:

Шаг 4: Общая формула площади $n$-го квадрата.

Пусть площадь $n$-го квадрата равна $S_n$. Тогда:

Шаг 5: Сумма всех площадей квадратов.

Нам нужно найти сумму всех площадей:

Это геометрическая прогрессия, где:

• $S_1 = 16$,
• знаменатель прогрессии $q = \frac{1}{2}$.

Сумма бесконечной убывающей геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

где $S_1$ — первый член, а $q$ — знаменатель прогрессии.

Подставим значения: