Найдите длины сторон прямоугольника, периметр которого равен 32 см, а площадь равна 55 см².

Для решения задачи обозначим стороны прямоугольника как $a$ и $b$. Из условия задачи нам известны следующие данные:

1. Периметр прямоугольника равен 32 см. Формула для периметра прямоугольника:
   $P = 2a + 2b = 32$
   Упростим это уравнение:
   $a + b = 16$

2. Площадь прямоугольника равна 55 см². Формула для площади прямоугольника:
   $S = a \cdot b = 55$

Теперь у нас есть система двух уравнений:

1. $a + b = 16$

2. $a \cdot b = 55$

Решим эту систему уравнений. Для этого выразим одну сторону через другую из первого уравнения. Например, выразим $b$:
$b = 16 - a$

Теперь подставим это выражение для $b$ во второе уравнение:
$a \cdot (16 - a) = 55$

Раскроем скобки:
$16a - a^2 = 55$

Переносим все члены в одну сторону:
$a^2 - 16a + 55 = 0$

Теперь решим это квадратное уравнение. Для этого используем формулу дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-16)^2 - 4(1)(55) = 256 - 220 = 36$

Корни уравнения находятся по формуле:
$a = \frac{-(-16) \pm \sqrt{36}}{2(1)} = \frac{16 \pm 6}{2}$

Таким образом, два возможных значения для $a$:

1. $a = \frac{16 + 6}{2} = 11$

2. $a = \frac{16 - 6}{2} = 5$

Теперь найдём соответствующие значения для $b$:

1. Если $a = 11$, то $b = 16 - 11 = 5$.

2. Если $a = 5$, то $b = 16 - 5 = 11$.

Таким образом, стороны прямоугольника равны 11 см и 5 см.