4 косинус квадрат икс + 4 синус икс - 1=0

Уравнение, которое нужно решить, имеет вид:

$4 \cos^2(x) + 4 \sin(x) - 1 = 0.$

Решим его шаг за шагом.

1. Используем тригонометрическую идентичность. Мы знаем, что $\cos^2(x) = 1 - \sin^2(x)$, и подставим это в исходное уравнение:

2. Упростим выражение:

3. Преобразуем уравнение в квадратное относительно синуса. Переупорядочим члены:

Умножим все на -1, чтобы коэффициенты при $\sin^2(x)$ и $\sin(x)$ стали положительными:

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно $\sin(x)$. Решим его с помощью дискриминанта.

4. Находим дискриминант. Для квадратного уравнения $a \sin^2(x) + b \sin(x) + c = 0$ дискриминант вычисляется по формуле:

В нашем случае $a = 4$, $b = -4$, $c = -3$. Подставим эти значения:

5. Находим корни уравнения. Корни квадратного уравнения можно найти по формуле:

Подставляем значения $b = -4$, $D = 64$, и $a = 4$:

Таким образом, получаем два возможных значения для $\sin(x)$:

и

6. Находим $x$ для $\sin(x) = -0.5$. Значение $\sin(x) = -0.5$ соответствует углам, для которых $x = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi$ и $x = \frac{11\pi}{6} + 2k\pi$, где $k$ — целое число.

Ответ: Углы $x = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi$ и $x = \frac{11\pi}{6} + 2k\pi$, где $k$ — целое число.