Пять человек случайным образом рассаживаются за круглым столом, среди них Оля и Петя. Найти вероятность того, что Оля и Петя будут сидеть рядом.

Для решения этой задачи нужно учитывать особенности размещения людей за круглым столом и использовать комбинаторику для расчёта вероятностей.

1. Определение общего количества способов рассадить людей

Когда людей рассаживают за круглым столом, необходимо учитывать, что перестановки местами всей группы не влияют на итоговую конфигурацию. Поэтому, если бы мы рассаживали $n$ человек за круглым столом, количество способов это сделать было бы $(n - 1)!$.

В нашей задаче $n = 5$, так как за столом сидят 5 человек. Соответственно, количество всех возможных способов рассадить их за круглым столом:

2. Определение количества благоприятных исходов (Оля и Петя сидят рядом)

Теперь нужно посчитать количество способов, при которых Оля и Петя будут сидеть рядом.

2.1. Рассмотрим Олю и Петю как одну группу

Для удобства будем считать Олю и Петю как одну группу. Если считать их как одно целое, то останется рассадить 4 "объекта" за круглым столом: группу "Оля и Петя" и троих оставшихся человек. Количество способов рассадить 4 объекта за круглым столом равно:

2.2. Учитываем перестановки внутри группы

Поскольку Оля и Петя могут меняться местами внутри своей группы (Оля может сидеть слева от Пети или справа), то для каждого расположения группы существует 2 варианта расположения. Таким образом, количество благоприятных исходов увеличивается в 2 раза:

3. Нахождение вероятности

Теперь можно найти вероятность того, что Оля и Петя будут сидеть рядом. Для этого нужно разделить количество благоприятных исходов на общее количество исходов:

Ответ

Вероятность того, что Оля и Петя будут сидеть рядом за круглым столом, равна $\frac{1}{2}$ или 50%.