Найти площадь ограниченной фигуры y=x^2-4 и y=0

Ответы на вопрос

Отвечает Сакевич Дима.

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной кривой $y = x^2 - 4$ и прямой $y = 0$ , нужно рассчитать определённый интеграл, который будет давать площадь между этими двумя графиками.

Шаг 1: Найдём точки пересечения кривой и прямой

Для этого приравняем уравнение $y = x^2 - 4$ к нулю:

x^2 - 4 = 0

Решим это уравнение:

x^2 = 4 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 2

Таким образом, кривые пересекаются в точках $x = -2$ и $x = 2$ .

Шаг 2: Определим, какой интеграл нужно вычислить

Площадь между кривой и осью абсцисс (где $y = 0$ ) от $x = -2$ до $x = 2$ можно найти с помощью определённого интеграла:

S = \int_{-2}^{2} (0 - (x^2 - 4)) \, dx = \int_{-2}^{2} (4 - x^2) \, dx

Шаг 3: Вычислим интеграл

Интеграл $\int (4 - x^2) \, dx$ вычисляется по частям:

\int (4 - x^2) \, dx = 4x - \frac{x^3}{3}

Теперь подставим пределы интегрирования от $-2$ до $2$ :

S = \left[ 4x - \frac{x^3}{3} \right]_{-2}^{2}

Шаг 4: Подставим пределы

Подставляем $x = 2$ :

4(2) - \frac{2^3}{3} = 8 - \frac{8}{3} = \frac{24}{3} - \frac{8}{3} = \frac{16}{3}

Подставляем $x = -2$ :

4(-2) - \frac{(-2)^3}{3} = -8 - \frac{-8}{3} = -8 + \frac{8}{3} = -\frac{24}{3} + \frac{8}{3} = -\frac{16}{3}

Теперь находим разницу:

S = \frac{16}{3} - \left( -\frac{16}{3} \right) = \frac{16}{3} + \frac{16}{3} = \frac{32}{3}

Ответ:

Площадь фигуры, ограниченной графиками $y = x^2 - 4$ и $y = 0$ , равна $\frac{32}{3}$ квадратных единиц.

Последние заданные вопросы в категории Математика