Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций y = 4x - x² и y = 4 - x.

Для нахождения площади фигуры, ограниченной графиками функций $y = 4x - x^2$ и $y = 4 - x$, необходимо выполнить несколько шагов.

1. Найдем точки пересечения графиков. Для этого приравняем обе функции:

   $$4x - x^2 = 4 - x$$

   Переносим все члены в одну сторону:

   $$4x - x^2 - 4 + x = 0$$

   Упростим выражение:

   $$-x^2 + 5x - 4 = 0$$

   Умножим на $-1$, чтобы избавиться от отрицательного знака:

   $$x^2 - 5x + 4 = 0$$

   Разлагаем квадратное уравнение:

   $$(x - 4)(x - 1) = 0$$

   Получаем два корня:

   $$x = 4 \quad \text{и} \quad x = 1$$

   Таким образом, графики пересекаются в точках $x = 1$ и $x = 4$.

2. Вычислим площадь между графиками. Для этого нужно найти определенный интеграл разности функций на отрезке от $x = 1$ до $x = 4$. Разность функций:

   $$(4x - x^2) - (4 - x) = 4x - x^2 - 4 + x = -x^2 + 5x - 4$$

   Теперь вычислим определенный интеграл от $-x^2 + 5x - 4$ на интервале от 1 до 4:

   $$\int_1^4 (-x^2 + 5x - 4) \, dx$$

   Разделим интеграл на три части:

   $$\int_1^4 -x^2 \, dx + \int_1^4 5x \, dx - \int_1^4 4 \, dx$$

   Вычислим каждый интеграл по очереди:

   • $\int_1^4 -x^2 \, dx = \left[ -\frac{x^3}{3} \right]_1^4 = -\frac{4^3}{3} + \frac{1^3}{3} = -\frac{64}{3} + \frac{1}{3} = -\frac{63}{3} = -21$

   • $\int_1^4 5x \, dx = \left[ \frac{5x^2}{2} \right]_1^4 = \frac{5 \cdot 4^2}{2} - \frac{5 \cdot 1^2}{2} = \frac{5 \cdot 16}{2} - \frac{5 \cdot 1}{2} = 40 - 2.5 = 37.5$

   • $\int_1^4 4 \, dx = 4(x) \Big|_1^4 = 4(4) - 4(1) = 16 - 4 = 12$

   Теперь сложим все эти значения:

   $$-21 + 37.5 - 12 = 4.5$$

3. Ответ: Площадь фигуры, ограниченной графиками функций $y = 4x - x^2$ и $y = 4 - x$