В Сказочном Лесу живут 14 гномиков. К Новому году каждый гномик подарил каждому столько пряников, сколько лет этому гномику. Возможно ли, что найдётся гномик, который получил 12345678 пряников?

Давайте разберём задачу шаг за шагом.

Всего в Сказочном Лесу живут 14 гномиков, и каждый из них получил от остальных гномов пряники в количестве, равном их возрасту. Зададим каждому гномику возраст, обозначим его за $a_i$, где $i$ — номер гномика (от 1 до 14). То есть $a_1, a_2, \dots, a_{14}$ — это возраста гномиков.

Каждый гномик получил пряники от остальных гномов, и каждый подарил другому столько пряников, сколько лет тому, кому он дарит. Это означает, что если гномику $i$ лет, то он подарил $a_i$ пряников каждому из остальных 13 гномиков. Важно отметить, что никто не дарит пряники самому себе.

Теперь посмотрим, сколько пряников получил каждый гномик. Для гномика $i$ общее количество полученных пряников — это сумма пряников от всех остальных гномиков, которая равна сумме их возрастов. То есть гномик $i$ получил пряники в количестве:

Другими словами, гномик $i$ получил сумму возрастов всех гномов, кроме своего собственного возраста $a_i$.

Теперь важно задаться вопросом: может ли полученное количество пряников $P_i$ быть равно 12345678?

Посчитаем, сколько в принципе может быть сумма возрастов всех гномиков. Это важно, так как каждый гномик получает сумму возрастов всех остальных гномов, кроме своего собственного, а значит разница между количеством полученных пряников у разных гномов будет не очень большой.

Пусть $\sum_{i=1}^{14} a_i = S$, где $S$ — общая сумма возрастов всех гномов. Тогда каждый гномик $i$ получит:

Чтобы определить, возможна ли ситуация, что $P_i = 12345678$, нам нужно знать $S$, общую сумму возрастов. В реальной жизни возраст гномиков не может быть слишком большим, скажем, пусть каждому гномику от 1 до 100 лет, хотя можно было бы и уточнить точные значения. Однако даже в таком случае общая сумма возрастов 14 гномиков будет порядка нескольких сотен или тысяч, но никак не миллионов.

Предположим, что возраста всех гномов — это числа порядка нескольких десятков. Тогда максимальная сумма всех возрастов $S$ будет порядка 1400 (если каждому гномику, скажем, по 100 лет, что уже не очень реалистично). Даже если возраста будут больше или меньше, суммы все равно остаются относительно небольшими. Но даже если взять очень большие значения возрастов, допустим, каждый гномик старше 100 лет, всё равно сумма возрастов не достигнет даже 10 миллионов.

Так как сумма возрастов гномиков (а значит, и количество пряников, которое может получить каждый гномик) не может достигнуть миллионов, а 12345678 — это очень большое число, можно с уверенностью сказать, что такой ситуации быть не может. Нет гномика, который мог бы получить 12345678 пряников при любой возможной расстановке возрастов.