Придумайте и докажите признак делимости на 125 и 8.

Признаки делимости на 125 и 8 можно сформулировать на основе десятичной записи числа и свойств степеней 10.

✅ Признак делимости на 125:

Число делится на 125 тогда и только тогда, когда его последние три цифры делятся на 125.

Доказательство:

Число можно представить в виде:

где $B$ — это число, образованное последними тремя цифрами $N$, а $A$ — оставшаяся часть числа.

Так как $1000 = 8 \cdot 125$, то $1000$ делится на $125$, значит $1000 \cdot A$ также делится на $125$.

Следовательно, делимость всего числа $N$ на $125$ зависит только от делимости $B$ на $125$.
То есть, если последние три цифры числа делятся на 125, то и всё число делится на 125.

✅ Признак делимости на 8:

Число делится на 8 тогда и только тогда, когда его последние три цифры делятся на 8.

Доказательство:

Аналогично представим число:

где $B$ — число, образованное последними тремя цифрами.

Поскольку $1000 = 125 \cdot 8$, число $1000$ делится на 8, а значит и $1000 \cdot A$ делится на 8.

Следовательно, делимость числа $N$ на 8 зависит только от $B$, то есть от трёх последних цифр.

? Вывод:

Признаки делимости:

• На 125 — последние три цифры делятся на 125.

• На 8 — последние три цифры делятся на 8.

Эти признаки легко использовать при устных вычислениях или проверках делимости в задачах.