Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Найдите двугранный угол B1ADB, если АС=6√2 м, AB1=4√3 м, ABCD — квадрат.

Для решения задачи начнем с того, что рассмотрим геометрические данные и свойства прямоугольного параллелепипеда.

1. Определение сторон квадрата ABCD:
   У нас есть прямоугольный параллелепипед, где основание ABCD является квадратом, и его диагональ AC = 6√2 м. Поскольку диагональ квадрата можно найти по формуле $AC = a\sqrt{2}$, где $a$ — сторона квадрата, подставим значение диагонали:

   $$6\sqrt{2} = a\sqrt{2}$$

   Разделим обе стороны на $\sqrt{2}$:

   $$a = 6 \, \text{м}$$

   Таким образом, сторона квадрата ABCD равна 6 м.

2. Определение высоты параллелепипеда:
   Дано, что $AB1 = 4\sqrt{3}$ м. Это длина ребра, соединяющего вершину A с точкой B1, которая лежит на верхней грани параллелепипеда. Следовательно, высота параллелепипеда, равная расстоянию между основаниями ABCD и A1B1C1D1, составляет 4√3 м.

3. Находим координаты точек:
   Поместим прямоугольный параллелепипед в координатную систему. Пусть точка A находится в начале координат, т.е. $A(0, 0, 0)$.

   • $B(6, 0, 0)$ — точка, смещенная на длину стороны квадрата вдоль оси X.

   • $C(6, 6, 0)$ — точка, смещенная вдоль оси Y.

   • $D(0, 6, 0)$ — точка на оси Y.

   • $A1(0, 0, 4\sqrt{3})$ — точка, расположенная на оси Z на расстоянии 4√3 м от точки A.

   • $B1(6, 0, 4\sqrt{3})$ — точка, расположенная на оси Z на расстоянии 4√3 м от точки B.

4. Векторное представление линий:
   Рассмотрим два вектора, образующие угол, который требуется найти: $\overrightarrow{B1A}$ и $\overrightarrow{DB}$.

   • Вектор $\overrightarrow{B1A}$ — это разница координат точек A и B1:

     $$\overrightarrow{B1A} = (0 - 6, 0 - 0, 0 - 4\sqrt{3}) = (-6, 0, -4\sqrt{3})$$

   • Вектор $\overrightarrow{DB}$ — это разница координат точек B и D:

     $$\overrightarrow{DB} = (6 - 0, 0 - 6, 0 - 0) = (6, -6, 0)$$

5. Находим угол между векторами:
   Чтобы найти двугранный угол между плоскостями, достаточно вычислить угол между векторами $\overrightarrow{B1A}$ и $\overrightarrow{DB}$. Угол между двумя векторами можно найти по формуле:

   $$\cos \theta = \frac{\overrightarrow{B1A} \cdot \overrightarrow{DB}}{|\overrightarrow{B1A}| |\overrightarrow{DB}|}$$

   Сначала находим скалярное произведение векторов $\overrightarrow{B1A}$ и $\overrightarrow{DB}$:

   $$\overrightarrow{B1A} \cdot \overrightarrow{DB} = (-6)(6) + (0)(-6) + (-4\sqrt{3})(0) = -36$$

   Теперь находим длины векторов:

   $$|\overrightarrow{B1A}| = \sqrt{(-6)^2 + 0^2 + (-4\sqrt{3})^2} = \sqrt{36 + 48} = \sqrt{84} = 2\sqrt{21}$$