Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Точка T - точка пересечения отрезков
AC и BD. Разложите вектор D1T по векторам D1A1, D1C1, D1D

Для решения этой задачи разложим вектор $\overrightarrow{D_1T}$ по базисным векторам $\overrightarrow{D_1A_1}$, $\overrightarrow{D_1C_1}$ и $\overrightarrow{D_1D}$.

Шаг 1: Определение координат точек

Предположим, что параллелепипед расположен в декартовой системе координат, и его вершины имеют следующие координаты:

• $D_1 = (0, 0, 1)$
• $A_1 = (1, 0, 1)$
• $C_1 = (1, 1, 1)$
• $D = (0, 0, 0)$

Пусть точка $A = (1, 0, 0)$ и $C = (1, 1, 0)$, $B = (0, 1, 0)$, $B_1 = (0, 1, 1)$.

Шаг 2: Определение координат точки $T$

Точка $T$ — это точка пересечения отрезков $AC$ и $BD$. Чтобы найти координаты этой точки, нужно составить параметрические уравнения прямых, на которых лежат эти отрезки, и решить их.

Для отрезка $AC$:

• Параметрическое уравнение: $\overrightarrow{r} = (1, 0, 0) + t \cdot (0, 1, 0) = (1, t, 0)$, где $t \in [0, 1]$.

Для отрезка $BD$:

• Параметрическое уравнение: $\overrightarrow{r} = (0, 1, 0) + s \cdot (1, -1, 0) = (s, 1 - s, 0)$, где $s \in [0, 1]$.

Найдем точку пересечения этих прямых, приравняв их координаты:

Подставляя $s = 1$, получаем $t = 0$. Следовательно, точка $T$ имеет координаты $(1, 0, 0)$.

Шаг 3: Найдём вектор $\overrightarrow{D_1T}$

Вектор $\overrightarrow{D_1T}$ определяется как разность координат точек $T$ и $D_1$:

Шаг 4: Определение направляющих векторов

Теперь определим базисные векторы:

• $\overrightarrow{D_1A_1} = (1, 0, 0) - (0, 0, 1) = (1, 0, 0)$.
• $\overrightarrow{D_1C_1} = (1, 1, 1) - (0, 0, 1) = (1, 1, 0)$.
• $\overrightarrow{D_1D} = (0, 0, 0) - (0, 0, 1) = (0, 0, -1)$