Вклад планируется открыть на 4 года, при этом он составляет целое число миллионов рублей. В конце каждого года банк начисляет 10% на имеющуюся сумму. В начале 3-го и 4-го годов вкладчик добавляет по 3 млн рублей. Определить наименьший размер первоначального вклада, при котором выплаты банка составят не менее 5 млн рублей.

Рассмотрим задачу пошагово.

Пусть начальный вклад составляет $x$ миллионов рублей.

Первый год:
На конце первого года банк начислит 10% на начальный вклад, то есть сумма будет:

Второй год:
На второй год банк начисляет 10% на сумму, которая есть на конце первого года. Следовательно, после начисления процентов во второй год будет:

Третий год:
В начале третьего года вкладчик добавляет еще 3 миллиона рублей. Таким образом, сумма на начало третьего года составит:

Теперь на эту сумму банк начисляет 10%:

Четвертый год:
В начале четвертого года вкладчик снова добавляет 3 миллиона рублей, то есть на начало четвертого года сумма будет:

Теперь банк начисляет 10% на эту сумму:

Задача состоит в том, чтобы на конце четвертого года сумма была не менее 5 миллионов рублей:

Решим это неравенство:

Так как вклад — это целое число миллионов рублей, и оно не может быть отрицательным, наименьший размер первоначального вклада — это 2 миллиона рублей.

Ответ: наименьший размер первоначального вклада, при котором выплаты банка составят не менее 5 миллионов рублей, равен 2 миллионам рублей.