Дана сфера и её касательная плоскость. В плоскости находится точка; через неё и центр сферы проведена прямая. Эта прямая образует с касательной плоскостью угол 28°. Радиус даной сферы — R. Вырази через R расстояние данной точки до поверхности сферы

Для решения задачи начнем с определения основных элементов, которые мы имеем: сферу с радиусом $R$, касательную плоскость и точку $P$, находящуюся в этой плоскости. Касательная плоскость касается сферы в некоторой точке $T$, а центр сферы обозначим буквой $O$.

Шаг 1: Определение расстояний

1. Расстояние от точки $P$ до центра сферы $O$: Обозначим это расстояние как $d$. Так как точка $P$ находится в касательной плоскости, она не лежит на сфере, и $d$ будет больше $R$.

2. Угол между прямой $OP$ и касательной плоскостью: Данная прямая $OP$ образует угол $28^\circ$ с касательной плоскостью. Это означает, что угол между радиусом $OT$ и прямой $OP$ равен $90^\circ - 28^\circ = 62^\circ$.

Шаг 2: Применение тригонометрии

Для нахождения расстояния от точки $P$ до поверхности сферы, нам нужно выразить $d - R$.

1. Используем тригонометрические функции. Рассмотрим прямоугольный треугольник $OTP$, где:

   • $OT = R$ (радиус сферы),
   • $OP = d$ (расстояние от точки $P$ до центра сферы),
   • угол $\angle OTP = 62^\circ$.

   В этом треугольнике мы можем использовать определение косинуса:

   $$\cos(62^\circ) = \frac{OT}{OP} = \frac{R}{d}$$

   Отсюда выражаем $d$:

   $$d = \frac{R}{\cos(62^\circ)}$$

Шаг 3: Нахождение расстояния от точки до поверхности

Теперь можем найти расстояние от точки $P$ до поверхности сферы:

Подставим найденное значение $d$:

Соберем выражение:

Шаг 4: Упрощение

Теперь упростим последнее выражение. Зная, что $\cos(62^\circ)$ примерно равен $0.469$:

Таким образом, расстояние от точки $P$ до поверхности сферы выражается через радиус $R$:

Заключение

Итак, мы выразили расстояние от данной точки до поверхности сферы через радиус $R$. Для получения численного значения можно подставить $R$ и вычислить $\cos(62^\circ)$.