Докажите, что через точку вне данной плоскости можно провести плоскость, параллельную данной, и притом только одну.

Для доказательства того, что через точку вне данной плоскости можно провести плоскость, параллельную данной, и притом только одну, рассмотрим задачу более детально.

1. Существование параллельной плоскости

Пусть у нас есть плоскость $\alpha$ и точка $A$, которая не лежит в этой плоскости. По определению, две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются, то есть не имеют общих точек. Задача состоит в том, чтобы доказать, что через точку $A$ можно провести плоскость, которая будет параллельна плоскости $\alpha$.

Для этого рассмотрим следующую идею. Через точку $A$ всегда можно провести бесконечное множество плоскостей. Из этих возможных плоскостей мы можем выбрать одну таким образом, чтобы её нормальный вектор (перпендикулярный к плоскости) был одинаков с нормальным вектором плоскости $\alpha$. Это означает, что данная новая плоскость будет параллельна $\alpha$, так как плоскости, имеющие одинаковый нормальный вектор, не пересекаются и, следовательно, параллельны.

Итак, через точку $A$ можно провести плоскость, параллельную $\alpha$.

2. Единственность параллельной плоскости

Теперь докажем, что такая параллельная плоскость может быть только одна. Рассмотрим ещё одну плоскость, которая якобы параллельна плоскости $\alpha$ и проходит через точку $A$. Пусть это будет другая плоскость $\beta$. Если $\beta$ параллельна $\alpha$, то у неё должен быть такой же нормальный вектор, как и у $\alpha$. Однако, если бы существовало две разные плоскости, проходящие через точку $A$ и параллельные $\alpha$, это означало бы, что они имеют одинаковый нормальный вектор, но пересекаются в точке $A$. Но по определению параллельные плоскости не пересекаются, а значит, плоскость $\beta$ совпадает с плоскостью, которую мы уже построили на первом шаге.

Отсюда следует, что существует только одна плоскость, которая проходит через точку $A$ и параллельна данной плоскости $\alpha$.

Вывод

Таким образом, мы доказали, что через точку, не лежащую в данной плоскости, можно провести только одну плоскость, которая будет параллельна данной.