Как складывать отрицательные и положительные числа

Как я это вижу, сложение положительных и отрицательных — это про баланс «плюсов» и «минусов», как деньги и долги или потепления и похолодания. Шпаргалка и примеры ниже.

1. Базовые правила
   • Одни и те же знаки: складываем модули (абсолютные значения) и ставим общий знак.
   Напр.: (−7) + (−5) = −(7+5) = −12.
   • Разные знаки: вычитаем меньший модуль из большего и берём знак того числа, чей модуль больше.
   Напр.: (−7) + 5 → модuli 7 и 5, 7 больше, знак «−» → −(7−5) = −2.
   • Ноль: a + 0 = a. Если модули равны, сумма ноль: (−8) + 8 = 0.
   • Вычитание — это тоже сложение: a − b = a + (−b).
   Напр.: 6 − 9 = 6 + (−9) = −3; −12 − 5 = −12 + (−5) = −17.

2. Наглядная мысль (числовая прямая)
   Стартуем в точке первого числа. Плюс — идём вправо, минус — влево.
   Напр.: 4 + (−9): из 4 идём 9 шагов влево → −5.

3. Быстрый алгоритм «на пальцах»

1. Смотрю на знаки.

2. Если знаки равны — просто складываю модули и ставлю этот знак.

3. Если разные — из большего модуля вычитаю меньший и ставлю знак числа с большим модулем.

4. Готово.

4. Рабочие примеры
   • 7 + (−5) = 2 (разные знаки, 7 больше 5 → «+», 7−5 = 2).
   • (−7) + 5 = −2 (разные знаки, 7 больше 5 → «−», 7−5 = 2).
   • (−3) + (−9) = −12 (одинаковые знаки, 3+9).
   • 4 + (−9) + 3 + (−2) → сгруппировать: (4+3) + [ (−9)+(−2) ] = 7 + (−11) = −4.
   • 3,5 + (−2,8) = 0,7.
   • (−3/4) + 5/8 = (−6/8) + 5/8 = −1/8.
   • 48 + (−51) = −(51−48) = −3.
   • (−20) + 13 = −(20−13) = −7.

5. Полезные трюки
   • Группируйте: положительные отдельно, отрицательные отдельно, потом сложите результаты.
   • Ищите «нулевые пары»: +a и −a взаимно уничтожаются.
   Напр.: 12 + (−7) + (−5) = (12 − 12) + 0 = 0, если перегруппировать как 12 + (−7 − 5).
   • Коммутативность и ассоциативность работают: можно переставлять и сгруппировать так, как удобнее.
   (a + b = b + a, (a + b) + c = a + (b + c))
   • Мыслите «деньги/долги»: 23 + (−9) — это 23 рублей и долг 9 → останется 14.

6. Частые ошибки
   • «Вычесть модули и взять знак меньшего» — неверно: знак всегда берём у числа с БОЛЬШИМ модулем.
   • Терять знак при раскрытии скобок после минуса: a − (b − c) = a − b + c.
   • Игнорировать, что вычитание — это прибавление отрицательного: так проще не запутаться.

Короткая памятка
• Одинаковые знаки → складываем модули, знак тот же.
• Разные знаки → вычитаем модули, знак числа с большим модулем.
• a − b = a + (−b).
• Ноль ничего не меняет, равные по модулю с разными знаками дают 0.

Если держать в голове эти четыре строки и тренироваться на мелких примерах, сложение «плюсов» и «минусов» становится автоматическим.