В прямоугольнике АВСD диагонали пересекаются в точке O, ∠BOA = 60°, BK⊥AO. Найдите диагональ AC, если AK = 7 см.
Выберите правильный ответ:
1) 14 см
2) 16 см
3) 28 см
4) 21 см

Давай подробно разберём решение задачи.

Нам дан прямоугольник ABCD, у которого диагонали пересекаются в точке O. Также известно, что ∠BOA = 60°, а отрезок BK перпендикулярен диагонали AO, при этом AK = 7 см.

В прямоугольнике диагонали равны и пересекаются в точке O, деля друг друга пополам. Значит, точка O является серединой как диагонали AC, так и диагонали BD.

Для решения задачи, сначала обратим внимание на треугольник BOA, который образуется диагоналями. Угол ∠BOA равен 60°, и это указывает на то, что треугольник BOA равнобедренный, так как диагонали прямоугольника делят его на такие треугольники.

Теперь обратимся к отрезку BK, который перпендикулярен AO. Это означает, что треугольник BKA — прямоугольный. Поскольку BK⊥AO, точка K лежит на прямой AO, и отрезок AK = 7 см — это высота, проведённая из вершины A на гипотенузу BO треугольника BKA.

Используем свойство высоты в прямоугольном треугольнике. Высота, проведённая из вершины равнобедренного треугольника на основание, делит треугольник на два равных прямоугольных треугольника. Поскольку угол ∠BOA равен 60°, в треугольнике BOA один из углов равен 30°, а другой — 90°, что указывает на то, что треугольник AKO является треугольником 30°–60°–90°.

В таких треугольниках соотношение сторон составляет 1:√3:2. Из этого следует, что если AK = 7 см (катет напротив угла 30°), то гипотенуза AO будет в 2 раза больше, то есть AO = 14 см.

Диагональ AC состоит из двух отрезков AO и OC, причём AO = OC, так как точка O делит диагональ пополам. Таким образом, диагональ AC равна удвоенному значению AO:

Ответ: 28 см (правильный вариант ответа — 3).