Решить уравнение: |x + 1| + |5 - x| = 20

Для решения уравнения $|x + 1| + |5 - x| = 20$, необходимо рассматривать различные случаи, так как абсолютные значения зависят от того, какой знак имеет выражение внутри.

Рассмотрим возможные области для $x$, которые определяют знаки выражений внутри абсолютных величин. У нас есть два выражения: $x + 1$ и $5 - x$. Чтобы выяснить, в каких областях меняется знак этих выражений, найдем точки, при которых каждое из них становится равным нулю:

1. $x + 1 = 0$, откуда $x = -1$.

2. $5 - x = 0$, откуда $x = 5$.

Таким образом, у нас есть три области для анализа:

1. $x < -1$

2. $-1 \leq x \leq 5$

3. $x > 5$

Теперь рассмотрим каждую из этих областей.

1. Когда $x < -1$:

В этой области оба выражения $x + 1$ и $5 - x$ будут отрицательными, то есть:

• $|x + 1| = -(x + 1) = -x - 1$

• $|5 - x| = -(5 - x) = x - 5$

Подставляем в уравнение:

Упростим:

Это противоречие, значит, нет решений в этой области.

2. Когда $-1 \leq x \leq 5$:

В этой области $x + 1 \geq 0$ и $5 - x \geq 0$, то есть:

• $|x + 1| = x + 1$

• $|5 - x| = 5 - x$

Подставляем в уравнение:

Упростим:

Это тоже противоречие, значит, нет решений и в этой области.

3. Когда $x > 5$:

В этой области $x + 1 \geq 0$ и $5 - x \leq 0$, то есть:

• $|x + 1| = x + 1$

• $|5 - x| = -(5 - x) = x - 5$

Подставляем в уравнение:

Упростим:

Решаем для $x$:

Таким образом, решение уравнения в этой области — $x = 12$.

Ответ:

Единственное решение уравнения — $x = 12$.