Найдите сумму всех трёхзначных чисел, кратных 9.

Для того чтобы найти сумму всех трёхзначных чисел, кратных 9, можно использовать следующий подход:

1. Определим первый и последний элемент последовательности.
   Трёхзначные числа начинаются с 100 и заканчиваются на 999. Из них нас интересуют те, которые кратны 9. Первое число, кратное 9, это 108 (так как 100 не делится на 9, а следующее число, которое делится на 9, это 108). Последним числом будет 999, так как оно также делится на 9.

2. Определим количество чисел в этой последовательности.
   Эти числа образуют арифметическую прогрессию, где:

   • первое число $a_1 = 108$,

   • последнее число $a_n = 999$,

   • разность $d = 9$.

   Формула для $n$-го элемента арифметической прогрессии:

   $$a_n = a_1 + (n-1) \cdot d$$

   Подставим значения:

   $$999 = 108 + (n-1) \cdot 9$$

   Решим это уравнение:

   $$999 - 108 = (n-1) \cdot 9$$ $$891 = (n-1) \cdot 9$$ $$n-1 = \frac{891}{9} = 99$$ $$n = 100$$

   То есть, всего 100 чисел, кратных 9, между 100 и 999.

3. Найдем сумму всех чисел прогрессии.
   Сумма арифметической прогрессии рассчитывается по формуле:

   $$S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n)$$

   Подставим значения:

   $$S_{100} = \frac{100}{2} \cdot (108 + 999)$$ $$S_{100} = 50 \cdot 1107 = 55350$$

Таким образом, сумма всех трёхзначных чисел, кратных 9, равна 55350.