Может ли сумма двух простых чисел быть простым числом?

Короткий ответ: да, но только в одном сценарии — когда одно из слагаемых равно 2. И даже тогда это происходит не всегда.

Обоснование:

• Все простые числа, кроме 2, — нечётные.

• Сумма двух нечётных чисел чётна. Если сложить два нечётных простых, получим чётное число больше 2, а значит, составное.

• Сумма 2 и 2 равна 4 — это тоже составное.

• Поэтому единственная возможность получить простое число в сумме — сложить 2 и какое-то нечётное простое $p$. Тогда сумма $2+p$ — нечётное число и может быть либо простым, либо составным.

Примеры, когда получается простое:

• $2+3=5$ — простое.

• $2+5=7$ — простое.

• $2+11=13$ — простое.

• $2+29=31$ — простое.

Примеры, когда не получается:

• $2+13=15$ — составное.

• $2+21$ нельзя рассматривать, потому что 21 не простое, но сам принцип: не каждое $p$ даёт простое $p+2$.

Итог: сумма двух простых чисел может быть простой только если одно из чисел равно 2; при этом результатом будет число вида $p+2$, которое бывает простым для некоторых $p$ (это как раз случаи «близнецов» вроде $(3,5), (5,7), (11,13)$), но вовсе не для всех.