1) Разложите на простые множители число 5544. 2) Найдите наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное чисел 504 и 756. 3) Докажите, что числа: а) 255 и 238 не взаимно простые; б) 392 и 675 взаимно простые. 4) Выполните действия: 268,8 : 0,56 + 6,44 × 12. 5) Может ли разность двух простых чисел быть простым числом?

Разложим число 5544 на простые множители:

Для разложения на простые множители будем делить число 5544 на простые числа, начиная с 2, пока не получим остаток, равный 1.

5544 делим на 2 (это наименьшее простое число, и 5544 четное):

2772 делим на 2:

1386 делим на 2:

693 делим на 3 (сумма цифр числа 693 = 18, что делится на 3):

231 делим на 3:

77 делим на 7:

11 — простое число, делить больше не нужно.

Таким образом, разложение на простые множители будет:

Наибольший общий делитель (НОД) и наименьшее общее кратное (НОК) чисел 504 и 756:

Разложим 504 и 756 на простые множители:

• 504:

7 — простое число.
Разложение на простые множители: $504 = 2^3 \times 3^2 \times 7$

• 756:

7 — простое число.
Разложение на простые множители: $756 = 2^2 \times 3^3 \times 7$

Для нахождения НОД берем минимальные степени общих простых множителей:

Для нахождения НОК берем максимальные степени всех простых множителей:

Доказательство взаимной простоты чисел:

а) 255 и 238 не взаимно простые:

Разложим числа на простые множители:

• 255: $255 \div 3 = 85 \quad 85 \div 5 = 17$ (17 — простое число).
  Разложение на простые множители: $255 = 3 \times 5 \times 17$

• 238: $238 \div 2 = 119 \quad 119 \div 7 = 17$ (17 — простое число).
  Разложение на простые множители: $238 = 2 \times 7 \times 17$

Видно, что у чисел 255 и 238 есть общий простой множитель 17, значит, они не взаимно простые.

б) 392 и 675 взаимно простые:

Разложим числа на простые множители:

• 392: $392 \div 2 = 196 \quad 196 \div 2 = 98 \quad 98 \div 2 = 49 \quad 49 \div 7 = 7$ (7 — простое число).
  Разложение на простые множители: $392 = 2^3 \times 7^2$

• 675: $675 \div 3 = 225 \quad 225 \div 3 = 75 \quad 75 \div 3 = 25 \quad 25 \div 5 = 5$ (5 — простое число).
  Разложение на простые множители: $675 = 3^3 \times 5^2$

У чисел 392 и 675 нет общих простых множителей, значит, они взаимно простые.

Выполним действия: 268,8 : 0,56 + 6,44 × 12:

Сначала выполняем деление:

Затем умножение:

Теперь складываем результаты:

Может ли разность двух простых чисел быть простым числом?

Если мы рассматриваем разность двух простых чисел, то она может быть простым числом, но только в одном случае. Если одно из простых чисел — 2 (наименьшее простое число), а второе — простое число больше 2, то разность может быть простым числом. Например, $5 - 2 = 3$ (3 — простое число). В других случаях разность двух простых чисел будет четной и больше 2, а значит, не может быть простым числом, так как все простые числа, кроме 2, нечетные.