Решить уравнение 3^2x-6*3^x-27=0

Для решения уравнения $3^{2x} - 6 \cdot 3^x - 27 = 0$ давайте произведем некоторые преобразования.

1. Перепишем $3^{2x}$:
   Известно, что $3^{2x} = (3^x)^2$. Подставим это в уравнение:

   $$(3^x)^2 - 6 \cdot 3^x - 27 = 0$$

   Теперь у нас квадратное уравнение относительно $3^x$.

2. Пусть $y = 3^x$:
   Тогда уравнение примет вид:

   $$y^2 - 6y - 27 = 0$$

   Это стандартное квадратное уравнение, которое можно решить с помощью формулы для корней квадратного уравнения:

   $$y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

   где $a = 1$, $b = -6$, и $c = -27$.

3. Решим квадратное уравнение:
   Подставим значения $a$, $b$, и $c$ в формулу:

   $$y = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-27)}}{2 \cdot 1}$$ $$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 108}}{2}$$ $$y = \frac{6 \pm \sqrt{144}}{2}$$ $$y = \frac{6 \pm 12}{2}$$

   Таким образом, у нас два возможных значения для $y$:

   $$y_1 = \frac{6 + 12}{2} = 9, \quad y_2 = \frac{6 - 12}{2} = -3$$

4. Подставим обратно $y = 3^x$:
   Для первого случая $y = 9$, то есть $3^x = 9$. Мы знаем, что $9 = 3^2$, значит:

   $$3^x = 3^2 \quad \Rightarrow \quad x = 2$$

   Для второго случая $y = -3$, то есть $3^x = -3$. Однако $3^x$ всегда положительно для всех действительных $x$, поэтому нет решений для $y = -3$.

Таким образом, единственным решением уравнения является $x = 2$.