Формула квадрата разности

Квадрат разности — это тождество

Откуда берётся формула

Раскрываем скобки по определению:

Как запомнить

«Квадрат первого минус удвоенное произведение первого на второе плюс квадрат второго».
Знак у среднего члена всегда противоположен знаку между $a$ и $b$ в скобках.

Примеры

1. $(7-3)^2 = 49 - 42 + 9 = 16$ (совпадает с $4^2$).

2. $(x-5)^2 = x^2 - 10x + 25$.

3. $(2t-3)^2 = (2t)^2 - 2\cdot(2t)\cdot3 + 3^2 = 4t^2 - 12t + 9$.

4. $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$ — та же формула в общем виде.

Геометрический смысл (интуиция)

Площадь квадрата со стороной $a-b$ равна площади большого квадрата $a^2$ минус два прямоугольника $ab$ плюс маленький квадрат $b^2$, потому что «вычли лишнее дважды — добавили обратно один раз».

Частые ошибки

• Путаница с «разностью квадратов»: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ — это другая формула.

• Забывают коэффициент 2 у среднего члена: пишут $a^2 - ab + b^2$ — это неверно.

Полезные частные случаи

• $(x-1)^2 = x^2 - 2x + 1$.

• $(x-2)^2 = x^2 - 4x + 4$.

• $(1-b)^2 = 1 - 2b + b^2$.

Итого, базовое тождество для квадрата разности: