Решите треугольник ABC, если угол A = 45, угол B = 75, AB = 2 корня из 3

Для решения треугольника $ABC$ с заданными условиями: $\angle A = 45^\circ$, $\angle B = 75^\circ$ и $AB = 2\sqrt{3}$, нужно найти остальные стороны и угол. Мы можем применить несколько тригонометрических методов, таких как теорема синусов и теорема косинусов. Давайте решим эту задачу шаг за шагом.

Шаг 1: Найдём угол $C$

В треугольнике сумма всех углов равна $180^\circ$. Поэтому угол $C$ можно найти следующим образом:

Итак, угол $C = 60^\circ$.

Шаг 2: Применим теорему синусов

Для нахождения сторон $AC$ и $BC$ можно использовать теорему синусов:

где:

• $a$ — сторона $BC$,
• $b$ — сторона $AC$,
• $c$ — сторона $AB = 2\sqrt{3}$.

Подставим известные значения:

Шаг 3: Вычислим $\sin$ углов

Для упрощения вычислений найдём значения синусов:

• $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$,
• $\sin 75^\circ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$,
• $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Шаг 4: Найдём сторону $a$ (сторона $BC$)

Используем соотношение:

Подставим значения:

Решим это уравнение:

Таким образом, сторона $BC = 2\sqrt{2}$.

Шаг 5: Найдём сторону $b$ (сторона $AC$)

Теперь используем соотношение: