решить уравнение высшей степени (2x + 1/x)^2 + 2x + 1/x - 12 = 0

Чтобы решить уравнение высшей степени $(2x + \frac{1}{x})^2 + 2x + \frac{1}{x} - 12 = 0$, давайте разобьем его на несколько шагов.

1. Введем замену:
   Пусть $y = 2x + \frac{1}{x}$. Тогда уравнение можно переписать как:

   $$y^2 + y - 12 = 0$$

2. Решим квадратное уравнение:
   Решим квадратное уравнение $y^2 + y - 12 = 0$ с помощью формулы для корней квадратного уравнения:

   $$y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

   Здесь $a = 1$, $b = 1$, $c = -12$. Подставляем значения:

   $$y = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-12)}}{2(1)} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{49}}{2}$$ $$y = \frac{-1 \pm 7}{2}$$

   Это дает два корня:

   $$y_1 = \frac{-1 + 7}{2} = \frac{6}{2} = 3, \quad y_2 = \frac{-1 - 7}{2} = \frac{-8}{2} = -4$$

3. Возвращаемся к переменной $x$:
   Теперь для каждого из значений $y$ подставим обратно в замену $y = 2x + \frac{1}{x}$ и решим для $x$.

   Для $y = 3$:

   $$2x + \frac{1}{x} = 3$$

   Умножим обе стороны на $x$ (при $x \neq 0$):

   $$2x^2 + 1 = 3x$$

   Переносим все в одну сторону:

   $$2x^2 - 3x + 1 = 0$$

   Решим это квадратное уравнение с помощью формулы:

   $$x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(2)(1)}}{2(2)} = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8}}{4} = \frac{3 \pm \sqrt{1}}{4}$$ $$x = \frac{3 \pm 1}{4}$$

   Это дает два корня:

   $$x_1 = \frac{3 + 1}{4} = 1, \quad x_2 = \frac{3 - 1}{4} = \frac{1}{2}$$