ctg (3П/2-а)-sin(a- 5П/2)+tg(п/2+а)*cos(7п/2+а)

Для упрощения выражения $ctg\left(\frac{3\pi}{2} - a\right) - \sin\left(a - \frac{5\pi}{2}\right) + \tan\left(\frac{\pi}{2} + a\right) \cdot \cos\left(\frac{7\pi}{2} + a\right)$, давайте разберем каждую часть по отдельности:

1. $ctg\left(\frac{3\pi}{2} - a\right)$:
   Вспоминаем, что $ctg(x) = \frac{1}{tg(x)}$, и по свойствам тригонометрических функций:

   $$ctg\left(\frac{3\pi}{2} - a\right) = -tg(a)$$

   Это связано с тем, что $ctg\left(\frac{3\pi}{2} - a\right)$ равно $-tg(a)$, так как $tg\left(\frac{3\pi}{2} - x\right) = -tg(x)$.

2. $\sin\left(a - \frac{5\pi}{2}\right)$:
   Вспоминаем, что $\sin(x)$ имеет период $2\pi$, то есть $\sin(x + 2\pi n) = \sin(x)$ для любого целого $n$.

   $$\sin\left(a - \frac{5\pi}{2}\right) = \sin\left(a - 2\pi - \frac{\pi}{2}\right) = \sin\left(-\frac{\pi}{2} + a\right)$$

   Используя тригонометрическое тождество $\sin\left(-x\right) = -\sin(x)$, получаем:

   $$\sin\left(a - \frac{5\pi}{2}\right) = -\cos(a)$$

3. $\tan\left(\frac{\pi}{2} + a\right) \cdot \cos\left(\frac{7\pi}{2} + a\right)$:
   Рассмотрим каждую функцию:

   • $\tan\left(\frac{\pi}{2} + a\right) = -\cot(a)$, так как $\tan\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = -\cot(x)$.

   • $\cos\left(\frac{7\pi}{2} + a\right) = \cos\left(a + \frac{\pi}{2}\right) = -\sin(a)$, так как $\cos\left(x + \frac{\pi}{2}\right) = -\sin(x)$.

   Следовательно,:

   $$\tan\left(\frac{\pi}{2} + a\right) \cdot \cos\left(\frac{7\pi}{2} + a\right) = -\cot(a) \cdot (-\sin(a)) = \cot(a) \cdot \sin(a)$$

   Но $\cot(a) = \frac{1}{\tan(a)}$, и так как $\cot(a) \cdot \sin(a) = \cos(a)$, то эта часть упрощается до $\cos(a)$.

Теперь объединяем все части: