Сколько существует натуральных чисел, меньших тысячи, которые не делятся ни на 5, ни на 7?

Для того чтобы найти количество натуральных чисел, меньших тысячи, которые не делятся ни на 5, ни на 7, воспользуемся методом включений и исключений.

1. Сначала найдем количество чисел, которые делятся на 5. Это числа, которые представляют собой множители 5: 5, 10, 15, 20, ..., до 995. Количество таких чисел можно найти, разделив 999 на 5 и округлив вниз:
   $\left\lfloor \frac{999}{5} \right\rfloor = 199$.
   То есть, чисел, делящихся на 5, 199.

2. Аналогично, для чисел, делящихся на 7, делим 999 на 7:
   $\left\lfloor \frac{999}{7} \right\rfloor = 142$.
   То есть, чисел, делящихся на 7, 142.

3. Теперь найдем количество чисел, которые делятся одновременно и на 5, и на 7 (то есть, на 35). Для этого делим 999 на 35:
   $\left\lfloor \frac{999}{35} \right\rfloor = 28$.
   То есть, чисел, делящихся на 35, 28.

4. Теперь применим принцип включений-исключений. Количество чисел, которые делятся либо на 5, либо на 7, равно сумме чисел, делящихся на 5, и чисел, делящихся на 7, минус числа, которые делятся на 35 (чтобы не посчитать их дважды):
   $199 + 142 - 28 = 313$.

5. Числа, которые не делятся ни на 5, ни на 7, это все натуральные числа, меньшие тысячи, за вычетом тех, которые делятся на 5 или 7. Всего чисел, меньших тысячи, 999, поэтому:
   $999 - 313 = 686$.

Ответ: существует 686 натуральных чисел, меньших тысячи, которые не делятся ни на 5, ни на 7.