Докажите признак по катету и острому углу (в прямоугольном треугольнике)

Признак прямоугольного треугольника по катету и острому углу утверждает, что если в прямоугольном треугольнике известен один катет и один из острых углов, то треугольник можно однозначно определить.

Докажем это:

1. Пусть у нас есть прямоугольный треугольник, в котором один катет равен $a$, а один из острых углов (не прямой) равен $\theta$.

2. Мы знаем, что сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Так как треугольник прямоугольный, то один угол равен $90^\circ$. Оставшиеся два угла — острые. Обозначим один из них как $\theta$, а другой угол будет равен $90^\circ - \theta$, так как сумма острых углов прямоугольного треугольника всегда составляет $90^\circ$.

3. Для определения всех сторон треугольника можем использовать тригонометрические функции. Пусть второй катет будет равен $b$, а гипотенуза — $c$. Тогда:

   • С помощью функции синуса для угла $\theta$ можем выразить второй катет $b$ как:

     $$\sin(\theta) = \frac{a}{c}, \quad \text{отсюда} \quad c = \frac{a}{\sin(\theta)}.$$

   • С помощью функции косинуса для угла $\theta$ можем выразить второй катет $b$ как:

     $$\cos(\theta) = \frac{b}{c}, \quad \text{отсюда} \quad b = c \cdot \cos(\theta) = \frac{a \cdot \cos(\theta)}{\sin(\theta)}.$$

4. Таким образом, зная один катет $a$ и угол $\theta$, мы можем вычислить гипотенузу $c$ и второй катет $b$, что полностью определяет треугольник.

Это и есть доказательство того, что для прямоугольного треугольника, если известен один катет и один из острых углов, то треугольник можно однозначно восстановить.