На двух копировальных машинах, работающих одновременно, можно сделать копию пакета документов за 10 минут. За какое время может выполнить эту работу первая машина в отдельности, если известно, что она выполнит эту работу на 15 минут быстрее, чем вторая машина?

Для решения задачи обозначим время, которое требуется первой машине для выполнения работы, как $t_1$ минут, а время, которое требуется второй машине, как $t_2$ минут.

Из условия задачи известно, что первая машина выполнит работу на 15 минут быстрее, чем вторая, то есть:

Когда две машины работают одновременно, их производительность суммируется. Если первая машина выполняет работу за $t_1$ минут, то её производительность будет $\frac{1}{t_1}$ работы за минуту. Аналогично, производительность второй машины будет $\frac{1}{t_2}$ работы за минуту. Когда машины работают одновременно, их общая производительность составит:

(поскольку обе машины делают работу за 10 минут).

Теперь подставим $t_1 = t_2 - 15$ в это уравнение:

Чтобы решить это уравнение, сначала приведём его к общему знаменателю:

Теперь умножим обе стороны на $10 \cdot t_2 \cdot (t_2 - 15)$, чтобы избавиться от дробей:

Раскроем скобки:

Переносим все выражения на одну сторону:

Теперь решаем это квадратное уравнение. Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$:

где $a = 1$, $b = -35$, $c = 150$. Подставим эти значения: