Найдите площадь правильного четырехугольника, если его диагональ равна 8.

Для того чтобы найти площадь правильного четырёхугольника (то есть квадрата), если известна длина его диагонали, можно воспользоваться следующим методом.

1. Вспомним свойства квадрата:
   У квадрата все стороны равны, а диагонали пересекаются под прямым углом и делят квадрат на два равнобедренных прямоугольных треугольника.

2. Используем теорему Пифагора:
   Диагональ квадрата делит его на два прямоугольных треугольника, в каждом из которых диагональ является гипотенузой, а две стороны квадрата — это катеты.

   Согласно теореме Пифагора:

   $$d^2 = a^2 + a^2$$

   где $d$ — диагональ квадрата, а $a$ — длина стороны квадрата.

   Это выражение можно упростить:

   $$d^2 = 2a^2$$

3. Найдем сторону квадрата:
   Подставим значение диагонали $d = 8$ в уравнение:

   $$8^2 = 2a^2$$ $$64 = 2a^2$$

   Разделим обе стороны уравнения на 2:

   $$a^2 = 32$$

   Теперь найдём $a$:

   $$a = \sqrt{32} \approx 5.66$$

4. Найдем площадь квадрата:
   Площадь квадрата вычисляется по формуле $S = a^2$, где $a$ — длина его стороны. Поскольку мы уже нашли, что $a^2 = 32$, площадь будет равна:

   $$S = 32$$

Таким образом, площадь квадрата с диагональю 8 равна 32 квадратных единицы.