Представьте число 36 в виде суммы двух положительных слагаемых так, чтобы произведение первого слагаемого и квадрата второго было наибольшим.

Пусть $x$ и $y>0$ — искомые слагаемые, $x+y=36$. Нужно максимизировать

Подставим $x=36-y$:

Берём производную:

Критические точки: $y=0$ и $y=24$. На границах $y\to 0^+$ или $y\to 36^-$ имеем $P\to0$. Вторая производная

значит при $y=24$ — максимум. Тогда $x=36-24=12$.

Итак, максимум достигается при

(Замечание: из условия Лагранжа $\nabla(\ln P)=\lambda \nabla(x+y)$ получаем $1/x=2/y\Rightarrow y=2x$, то же соотношение $12:24$).