Решите уравнение 9x^3-27x^2=0 x^3-4x^2-9x+36=0 Верно ли утверждение уравнение x^6+6x^4+7x^2+8=0 не имеет корней? ответ объясните.

Решения по порядку.

1. $9x^3-27x^2=0$

Вынесем общий множитель:

Ответ: $x=0,\,3$.

2. $x^3-4x^2-9x+36=0$

Сгруппируем:

Далее $x^2-9=(x-3)(x+3)$. Значит,

3. Верно ли, что уравнение $x^6+6x^4+7x^2+8=0$ не имеет корней (в вещественных числах)?

Положим $t=x^2\ge 0$. Тогда получаем кубический многочлен по $t$:

Заметим, что при $t\ge 0$

поэтому

Следовательно, для всех $t\ge 0$ выражение строго положительно, а значит уравнение не имеет вещественных корней (так как $t=x^2$ не бывает отрицательным).

Итог: утверждение верно — вещественных корней нет.