При каких значениях параметра a уравнение ax = a² + a: А) имеет единственный корень; Б) не имеет корней; В) имеет бесконечное множество корней.

Рассмотрим уравнение $a x = a^2 + a$ в зависимости от параметра $a$.

1. $a \ne 0$. Тогда можно разделить на $a$:

Коэффициент при $x$ ненулевой, значит решение единственное — $x=a+1$.

2. $a=0$. Подставляем:

тождество для любого $x$. Значит решений бесконечно много.

3. Ситуации «нет решений» возникает, когда коэффициент при $x$ равен нулю, а правая часть — нет. Здесь при $a=0$ правая часть тоже равна нулю, поэтому противоречия нет. Других $a$ с нулевым коэффициентом нет.

Итог:

• А) имеет единственный корень при всех $a\ne 0$;

• Б) не имеет корней — таких $a$ нет;

• В) имеет бесконечное множество корней при $a=0$.