Неравенство X в квадрате -2х-3<0

Неравенство $x^2 - 2x - 3$ обычно понимается как выражение, которое нужно решить относительно $x$. Однако для того, чтобы точно ответить на вопрос, нужно знать, какому неравенству оно соответствует. Например, если предполагается неравенство вида $x^2 - 2x - 3 > 0$, то решение будет следующим.

Решение:

1. Начнем с того, что решим квадратное уравнение $x^2 - 2x - 3 = 0$, чтобы понять, где выражение меняет знак. Для этого используем формулу дискриминанта:

   $$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4(1)(-3) = 4 + 12 = 16$$

   Дискриминант положительный, значит, у уравнения два корня. Находим их по формуле:

   $$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-2) \pm \sqrt{16}}{2(1)} = \frac{2 \pm 4}{2}$$

   Таким образом, корни:

   $$x_1 = \frac{2 + 4}{2} = 3, \quad x_2 = \frac{2 - 4}{2} = -1$$

2. Теперь, чтобы решить неравенство $x^2 - 2x - 3 > 0$, рассмотрим знак выражения $x^2 - 2x - 3$ на интервалах, которые определяются найденными корнями: $(-\infty, -1)$, $(-1, 3)$ и $(3, \infty)$.

3. Подставляем тестовые значения в каждую из этих областей:

   • Для интервала $(-\infty, -1)$, например, возьмем $x = -2$:

     $$(-2)^2 - 2(-2) - 3 = 4 + 4 - 3 = 5 > 0$$

   • Для интервала $(-1, 3)$, например, возьмем $x = 0$:

     $$0^2 - 2(0) - 3 = -3 < 0$$

   • Для интервала $(3, \infty)$, например, возьмем $x = 4$:

     $$4^2 - 2(4) - 3 = 16 - 8 - 3 = 5 > 0$$

4. На основе этих проверок получаем, что выражение $x^2 - 2x - 3 > 0$ выполняется на интервалах $(-\infty, -1)$ и $(3, \infty)$.

Ответ: Решение неравенства $x^2 - 2x - 3 > 0$ — это $x \in (-\infty, -1) \cup (3, \infty)$.

Если бы было неравенство $x^2 - 2x - 3 < 0$, то решение было бы $x \in (-1, 3)$.