Сколько общих членов имеют арифметические прогрессии 5, 8, 11... и 3, 7, 11... при n=100? Приведите решение.

Пусть берутся первые \(100\) членов каждой прогрессии.

Первая прогрессия: \(5, 8, 11, ...\). Её общий член:

\[a_k=5+3(k-1)=3k+2\]

При \(k=100\): \(a_{100}=302\).

Вторая прогрессия: \(3, 7, 11, ...\). Её общий член:

\[b_m=3+4(m-1)=4m-1\]

Общий член должен давать остаток \(2\) при делении на \(3\) и остаток \(3\) при делении на \(4\). Такие числа имеют вид:

\[11, 23, 35, ...\]

Это арифметическая прогрессия с разностью \(12\):

\[x=11+12t\]

Нужно, чтобы общий член не превышал последний член первой прогрессии, то есть \(302\):

\[11+12t \le 302\]

\[12t \le 291\]

\[t \le 24{,}25\]

Значит, \(t=0,1,2,...,24\), всего \(25\) значений.

Ответ: \(25\) общих членов.

0 0 Пожаловаться