Помогите, пожалуйста, решить неравенство с параметром (x-2a)(x-a) >= 0

Для решения неравенства $(x - 2a)(x - a) \geq 0$, нужно определить, при каких значениях $x$ произведение двух выражений будет больше или равно нулю. Рассмотрим шаги:

1. Найдем корни уравнения $(x - 2a)(x - a) = 0$:

   • $x - 2a = 0$ при $x = 2a$

   • $x - a = 0$ при $x = a$

Таким образом, у нас есть два корня: $x = a$ и $x = 2a$.

2. Построим числовую ось:
   На числовой оси выделим точки $a$ и $2a$. Это будут критические точки, в которых выражение меняет знак.

3. Определим знаки на промежутках:
   Мы разбиваем ось на три промежутка:

   • $x < a$

   • $a \leq x \leq 2a$

   • $x > 2a$

Теперь проверим знак выражения на каждом из этих промежутков.

• Для $x < a$: Пусть $x$ меньше $a$. Тогда оба множителя $(x - 2a)$ и $(x - a)$ будут отрицательными, так как $x - 2a < 0$ и $x - a < 0$. Произведение двух отрицательных чисел всегда положительно, то есть $(x - 2a)(x - a) > 0$.

• Для $a \leq x \leq 2a$: В этом интервале один множитель будет отрицательным, а другой — положительным. То есть $(x - 2a) \leq 0$ и $(x - a) \geq 0$. Произведение одного отрицательного и одного положительного числа всегда отрицательно, то есть $(x - 2a)(x - a) < 0$.

• Для $x > 2a$: В этом случае оба множителя будут положительными, так как $x - 2a > 0$ и $x - a > 0$. Произведение двух положительных чисел всегда положительно, то есть $(x - 2a)(x - a) > 0$.

4. Рассмотрим равенство:
   Мы ищем также значения $x$, при которых неравенство $(x - 2a)(x - a) \geq 0$. Это включает в себя все значения $x$, где произведение не отрицательно, то есть в интервалах, где произведение положительно или равно нулю. Мы видим, что на интервалах $x \leq a$ и $x \geq 2a$ выражение будет положительным или равным нулю.

5. Ответ:
   Неравенство выполняется для $x \in (-\infty, a] \cup [2a, +\infty)$.

То есть, решение неравенства $(x - 2a)(x - a) \geq 0$ — это $x \in (-\infty, a] \cup [2a, +\infty)$.