Найди значение выражения: cos(11π/12) + cos(5π/12)

Для нахождения значения выражения $\cos\left(\frac{11\pi}{12}\right) + \cos\left(\frac{5\pi}{12}\right)$ можно воспользоваться свойствами тригонометрических функций и формулами для суммы косинусов.

1. Представление углов в более удобной форме:

   $$\frac{11\pi}{12} = \pi - \frac{\pi}{12}, \quad \frac{5\pi}{12} = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{12}$$

2. Используем формулы для косинусов:

   • Для $\cos(\pi - x) = -\cos(x)$, так что:

     $$\cos\left(\frac{11\pi}{12}\right) = \cos\left(\pi - \frac{\pi}{12}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{12}\right)$$

   • Для $\cos\left(\frac{\pi}{3} - x\right)$ воспользуемся формулой для косинуса разности:

     $$\cos(a - b) = \cos(a)\cos(b) + \sin(a)\sin(b)$$

     Подставляем $a = \frac{\pi}{3}, b = \frac{\pi}{12}$:

     $$\cos\left(\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{12}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right)\cos\left(\frac{\pi}{12}\right) + \sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\sin\left(\frac{\pi}{12}\right)$$

     Используем значения для углов $\frac{\pi}{3}$:

     $$\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}, \quad \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

     Получаем:

     $$\cos\left(\frac{5\pi}{12}\right) = \frac{1}{2} \cos\left(\frac{\pi}{12}\right) + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin\left(\frac{\pi}{12}\right)$$

3. Сложение выражений:

   Теперь подставим найденные выражения:

   $$\cos\left(\frac{11\pi}{12}\right) + \cos\left(\frac{5\pi}{12}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{12}\right) + \left( \frac{1}{2} \cos\left(\frac{\pi}{12}\right) + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin\left(\frac{\pi}{12}\right) \right)$$

   Приводим подобные:

   $$\left(-\cos\left(\frac{\pi}{12}\right) + \frac{1}{2} \cos\left(\frac{\pi}{12}\right)\right) + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin\left(\frac{\pi}{12}\right)$$