Преобразовать в произведение и упростить выражение cos a+ cos 3a+cos 5a+cos 7a

Чтобы преобразовать выражение $\cos a + \cos 3a + \cos 5a + \cos 7a$ в произведение и упростить его, будем использовать формулы для преобразования суммы косинусов в произведение.

Шаг 1: Разбиваем на две суммы

Прежде всего, разобьем выражение на две пары косинусов:

Шаг 2: Применяем формулы суммы косинусов

Используем стандартную формулу для суммы косинусов:

Применим её к каждой из сумм.

Первая пара: $\cos a + \cos 7a$

Здесь $x = a$, $y = 7a$, подставляем в формулу:

Так как $\cos (-3a) = \cos 3a$, получаем:

Вторая пара: $\cos 3a + \cos 5a$

Здесь $x = 3a$, $y = 5a$, подставляем в формулу:

Так как $\cos (-a) = \cos a$, получаем:

Шаг 3: Объединяем результаты

Теперь подставим полученные выражения обратно:

Вынесем общий множитель $2 \cos 4a$:

Шаг 4: Применяем формулу для суммы косинусов

Теперь у нас снова есть сумма косинусов, которую можно преобразовать. Для выражения $\cos 3a + \cos a$ используем формулу:

Здесь $x = 3a$, $y = a$, подставляем в формулу:

Шаг 5: Подставляем результат в исходное выражение

Теперь подставляем это обратно в наше выражение:

Ответ:

Таким образом, преобразованное и упрощённое выражение для $\cos a + \cos 3a + \cos 5a + \cos 7a$ выглядит так: