Решите уравнение √3sinx - cosx = -2. Найдите корень, принадлежащий отрезку [-4π; -2π], представьте его в виде -aπ/b, укажите в ответе величину a + b.

Для решения уравнения $\sqrt{3} \sin x - \cos x = -2$ начнем с преобразования его в более удобную форму.

1. Выделим коэффициенты перед синусом и косинусом:

   $$\sqrt{3} \sin x - \cos x = -2$$

2. Попробуем выразить левую часть уравнения через одну тригонометрическую функцию. Для этого заметим, что выражение $\sqrt{3} \sin x - \cos x$ имеет вид линейной комбинации синуса и косинуса, что можно представить как $R \sin(x + \varphi)$, где $R$ и $\varphi$ — это амплитуда и фаза. Для этого подбираем такие значения $R$ и $\varphi$, что:

   $$R \sin(x + \varphi) = \sqrt{3} \sin x - \cos x$$

3. Для нахождения $R$ и $\varphi$ используем стандартные формулы:

   $$R = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$$

   и

   $$\tan \varphi = \frac{-1}{\sqrt{3}} \quad \Rightarrow \quad \varphi = -\frac{\pi}{6}$$

   Таким образом, уравнение принимает вид:

   $$2 \sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right) = -2$$

4. Разделим обе части уравнения на 2:

   $$\sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right) = -1$$

5. Теперь решаем уравнение $\sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right) = -1$. Мы знаем, что синус равен -1 в точках $x - \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi$, где $k$ — целое число. То есть:

   $$x - \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi$$

6. Переносим $\frac{\pi}{6}$ в правую часть:

   $$x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi + \frac{\pi}{6}$$

   Сложим $\frac{3\pi}{2} + \frac{\pi}{6}$ (найдем общий знаменатель):

   $$\frac{3\pi}{2} + \frac{\pi}{6} = \frac{9\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = \frac{10\pi}{6} = \frac{5\pi}{3}$$

   Таким образом, уравнение становится:

   $$x = \frac{5\pi}{3} + 2k\pi$$

7. Теперь ищем корень, который принадлежит отрезку $[-4\pi; -2\pi]$. Подставляем различные значения $k$.

   Для $k = -2$:

   $$x = \frac{5\pi}{3} + 2(-2)\pi = \frac{5\pi}{3} - 4\pi = \frac{5\pi}{3} - \frac{12\pi}{3} = -\frac{7\pi}{3}$$