Катя на свой день рождения угощала одноклассников конфетами. Раздав некоторое количество конфет, она заметила, что у неё осталось на 12 конфет больше, чем получил Артём. После этого она дала каждому ещё по одной конфете, и оказалось, что у всех детей в классе (включая Катю) стало одинаковое количество конфет. Сколько у Кати одноклассников? 

Давайте подробно разберем эту задачу.

Обозначим переменные:

• Пусть у Кати до раздачи конфет оставалось $x$ конфет.
• Артём получил $y$ конфет.
• После первой раздачи конфет у Кати осталось на 12 конфет больше, чем у Артёма, значит: $$x = y + 12$$
• После того, как Катя дала каждому (включая себя) по одной конфете, количество конфет у всех стало одинаковым.

Важное наблюдение:

Если после добавления по одной конфете у всех детей (включая Катю) стало одинаковое количество конфет, это значит, что изначально у Кати было на одну конфету больше, чем у каждого одноклассника.

Количество одноклассников:

Пусть всего в классе $n$ одноклассников (не считая Кати). После первой раздачи:

• У Артёма — $y$ конфет.
• У каждого другого одноклассника тоже $y$ конфет.
• У Кати — $y + 12$ конфет.

Теперь после того, как Катя дала по одной конфете каждому, у всех стало одинаковое количество конфет. То есть:

• У Артёма и всех остальных одноклассников стало $y + 1$ конфета.
• У Кати стало $y + 13$ конфет (так как у неё было $y + 12$, и она тоже получила одну дополнительную конфету).

Для того чтобы количество конфет стало одинаковым у всех, у Кати было на $n+1$ конфет больше, чем у каждого одноклассника до того, как она раздала по одной конфете, потому что разница между количеством конфет у Кати и каждого другого должна быть погашена за счёт раздачи. Это даёт нам уравнение:

Сокращаем $y$ с обеих сторон:

Отсюда:

Ответ:

У Кати 11 одноклассников.