У Пети и Кати семизначные номера телефонов, причем оба номера не начинаются с нуля. Петин номер отличается от Катиного только первой цифрой - у Кати она на на 3 больше. Известно что номер телефона Кати дает остаток 1 при делении на 8. Какой остаток дает номер телефона Пети при делении на 8

Давайте разберем задачу и найдем остаток, который дает номер телефона Пети при делении на 8.

Условие задачи:

1. У Пети и Кати семизначные номера телефонов, которые не начинаются с нуля.
2. Номер Пети отличается от номера Кати только первой цифрой.
3. Первая цифра номера Кати на 3 больше, чем первая цифра номера Пети.
4. Номер Кати при делении на 8 дает остаток 1.

Обозначим номер Пети как $P$ и номер Кати как $K$.

Разбор условия:

Пусть номер Кати записан в виде: $K = a_1 b_2 b_3 b_4 b_5 b_6 b_7$

где $a_1$ — первая цифра номера Кати, а $b_2 b_3 b_4 b_5 b_6 b_7$ — остальные шесть цифр, общие для обоих номеров.

Номер Пети будет выглядеть так: $P = (a_1 - 3) b_2 b_3 b_4 b_5 b_6 b_7$

Здесь $a_1 - 3$ — это первая цифра номера Пети, так как по условию разница между первой цифрой у Кати и Пети равна 3.

Анализ остатков:

Известно, что номер Кати $K$ дает остаток 1 при делении на 8, то есть: $K \mod 8 = 1$

Для нахождения остатка, который дает номер Пети при делении на 8, заметим, что у обоих номеров последние шесть цифр одинаковые. Это означает, что разница между номерами $K$ и $P$ зависит только от их первых цифр.

Разница между $K$ и $P$: $K - P = (a_1 - (a_1 - 3)) \cdot 10^6 = 3 \cdot 10^6$

Здесь $10^6$ — это множитель, который появляется из-за того, что разница в первой цифре номера влияет на место, равное миллиону (поскольку это семизначные числа).

Остаток от разницы:

Теперь определим, как число $3 \cdot 10^6$ влияет на остаток при делении на 8.

Рассчитаем: $10^6 \mod 8$

Так как $10 \mod 8 = 2$, то: $10^6 \mod 8 = (2^6) \mod 8 = 64 \mod 8 = 0$

Это означает, что: $3 \cdot 10^6 \mod 8 = 3 \cdot 0 = 0$

Определение остатка номера Пети:

Так как разница между $K$ и $P$ делится на 8 без остатка, это значит, что остатки $K$ и $P$ при делении на 8 одинаковы.

Из условия мы знаем, что: $K \mod 8 = 1$

Следовательно: $P \mod 8 = 1$

Ответ:

Таким образом, номер телефона Пети также дает остаток 1 при делении на 8.