(х+1)(х+2)(х+3)(х+4)=120

Решим уравнение

Заметим, что скобки можно сгруппировать попарно симметрично:

Посчитаем каждое произведение:

1. $(x+1)(x+4)=x^2+4x+x+4=x^2+5x+4$,

2. $(x+2)(x+3)=x^2+3x+2x+6=x^2+5x+6$.

Тогда исходное уравнение превращается в:

Теперь введём замену:

Тогда уравнение принимает вид:

Раскроем скобки:

Получаем:

Переносим 120 влево:

Это квадратное уравнение относительно $t$. Найдём дискриминант:

$\sqrt{484} = 22$, значит:

Два значения:

t_1 = \frac{-10 + 22}{2} = \frac{12}{2} = 6,
]
2. $t_2 = \frac{-10 - 22}{2} = \frac{-32}{2} = -16.$

Напоминаем, что $t = x^2 + 5x$. Значит у нас два уравнения:

1. $x^2 + 5x = 6$,

2. $x^2 + 5x = -16$.

1) Уравнение $x^2 + 5x = 6$

Перенесём 6 влево:

Находим дискриминант:

$\sqrt{49} = 7$.

Тогда:

Два корня:

x_1 = \frac{-5 + 7}{2} = \frac{2}{2} = 1,
]
2. $x_2 = \frac{-5 - 7}{2} = \frac{-12}{2} = -6.$

2) Уравнение $x^2 + 5x = -16$

Перепишем:

Дискриминант: