100 туристов. Из них 10 человек не знали ни немецкого, ни французского языка. 75 туристов знали немецкий язык и 83 туриста знали французский. Сколько туристов знали оба языка?

Для решения задачи нужно воспользоваться принципом включений и исключений.

Обозначим:

• $A$ — множество туристов, которые знают немецкий язык.

• $B$ — множество туристов, которые знают французский язык.

• $|A| = 75$ — 75 туристов знают немецкий.

• $|B| = 83$ — 83 туриста знают французский.

• 10 туристов не знали ни немецкого, ни французского языка, то есть 90 туристов знали хотя бы один язык (100 - 10 = 90).

Задача сводится к нахождению числа туристов, которые знают оба языка. Для этого используем формулу для объединения двух множеств:

Где:

• $|A \cup B|$ — количество туристов, которые знают хотя бы один из языков, то есть 90.

• $|A|$ — количество туристов, которые знают немецкий (75).

• $|B|$ — количество туристов, которые знают французский (83).

• $|A \cap B|$ — количество туристов, которые знают оба языка (это и нужно найти).

Подставляем данные в формулу:

Преобразуем уравнение:

Теперь решим его относительно $|A \cap B|$:

Таким образом, 68 туристов знают оба языка.