Из 100 туристов, выехавших за границу, немецкий знают 30 человек, английский - 28, французский - 42, английский и немецкий - 8, английский и французский - 10, немецкий и французский - 5, тремя языками - 3. Сколько туристов не владеют ни одним языком, одним английским, одним немецким, одним французским?

Решу через принцип включений-исключений и разложение на «ровно k языков».

Обозначим: $G$ — немецкий (30), $E$ — английский (28), $F$ — французский (42). Пересечения: $E\cap G=8$, $E\cap F=10$, $G\cap F=5$, $E\cap G\cap F=3$.

1) Сколько знают хотя бы один язык

Значит, не владеют ни одним: $100-80=20$.

2) «Ровно один» по каждому языку

Используем: «только $E$» $=|E|-|E\cap G|-|E\cap F|+|E\cap G\cap F|$ (аналогично для других).

• Только английский:

  $$28-8-10+3=13.$$

• Только немецкий:

  $$30-8-5+3=20.$$

• Только французский:

  $$42-10-5+3=30.$$

Проверка: «ровно два» = $(8-3)+(10-3)+(5-3)=5+7+2=14$; сумма $13+20+30+14+3=80$ — сходится.

Ответ: не владеют ни одним — 20; только английским — 13; только немецким — 20; только французским — 30.